Đáp án đề thi vòng 2:
Bài 1:
a, Ta có: \(2\left|x-3\right|\ge0\)
\(\Rightarrow-2\left|x-3\right|\le0\)
\(\Rightarrow A=9-2\left|x-3\right|\le9\)
Dấu " = " xảy ra khi \(2\left|x-3\right|=0\Rightarrow x=3\)
Vậy \(MAX_A=9\) khi \(x=3\)
b, Ta có: \(B=\left|x-2\right|+\left|x-8\right|=\left|x-2\right|+\left|8-x\right|\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:
\(B=\left|x-2\right|+\left|8-x\right|\ge\left|x-2+8-x\right|=\left|6\right|=6\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\8-x\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow2\le x\le8\)
Vậy \(MIN_B=6\) khi \(2\le x\le8\)
Bài 2:
a, Ta có: \(a^3+b^3+c^3=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^3+c^3=-a^3\\a^3+b^3=-c^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3b^3+2b^3c^3+3c^3a^3=a^3b^3+c^3a^3+2c^3a^3+2b^3c^3\)
\(=a^3\left(b^3+c^3\right)+2c^3\left(a^3+b^3\right)\)
\(=a^3\left(-a^3\right)+2c^3\left(-c^3\right)=-a^6-2c^6\le0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b, Ta có: \(\sqrt{8}+\sqrt{15}< \sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=8-1=\sqrt{61-1}< \sqrt{65}-1\)
Vậy \(\sqrt{8}+\sqrt{15}< \sqrt{65}-1\)
Bài 3:
a, Giải:
Gọi 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 là a, b, c và 3 chiều cao tương ứng là x, y, z \(\left(a,b,c,x,y,z>0\right)\)
Ta có: \(2S=ax=by=cz\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2}x.2=\dfrac{b}{3}y.3=\dfrac{c}{4}z.4\)
\(\Rightarrow2x=3y=4z\)
\(\Rightarrow\dfrac{2x}{12}=\dfrac{3y}{12}=\dfrac{4z}{12}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{3}\)
Vậy 3 chiều cao tương ứng của 3 cạnh đó tỉ lệ với 6, 4, 3
b, Giải:
Gọi hai số cần tìm là \(x,y\left(x,y\ne0;x>y\right)\)
Ta có: \(\dfrac{x+y}{4}=\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{xy}{45}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x+y}{4}=\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{x+y-x+y}{4-1}=\dfrac{2y}{3}=\dfrac{xy}{45}\)
Tương tự \(\Rightarrow\dfrac{2x}{5}=\dfrac{2y}{3}=\dfrac{xy}{45}\)
\(\Rightarrow18x=30y=xy\)
\(\Rightarrow x=30,y=18\)
Vậy x = 30, y = 18
Bài 4:
Giải:
Gọi H là trung điểm của cạnh AC. K là giao điểm của BE và DH
Ta có: DH // AB, \(DH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{AC}{2}\)
Xét \(\Delta EDK,\Delta EBA\) có:
\(\widehat{DEK}=\widehat{AEB}\) ( đối đỉnh )
ED = EA ( gt )
\(\widehat{EDK}=\widehat{EAB}\) ( so le trong do DH // AB )
\(\Rightarrow\Delta EDK=\Delta EAB\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow DK=AB\) ( cạnh tương ứng )
\(\Rightarrow DH=\dfrac{DK}{2}\)
\(\Rightarrow\)H là trung điểm của DK
\(\Delta MDK\) vuông tại M, MH là trung tuyến \(\Rightarrow MH=\dfrac{DK}{2}\)
\(\Rightarrow MH=\dfrac{AC}{2}\)
\(\Delta MAC\) có MH là đường trung tuyến và \(MH=\dfrac{AC}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta MAC\) vuông tại M
\(\Rightarrow AM\perp MC\left(đpcm\right)\)
Bài 5:
a, Giải:
p, q là các số nguyên tố lớn hơn 2
\(\Rightarrow p,q\) là số lẻ
Đặt \(p+q=2a\left(a\in N^{\circledast}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{p+q}{2}=a\)
Vì p < q \(\Rightarrow p+p< p+q< q+q\)
\(\Rightarrow2p< 2a< 2q\)
\(\Rightarrow p< a< q\)
Mà p, q là hai số nguyên tố liên tiếp
\(\Rightarrow\)a là hợp số
Vậy \(\dfrac{p+q}{2}\) là hợp số
b, Vì \(x,y\in N^{\circledast}\Rightarrow100x+43\le100x+100y\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^5\le100\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^4\le100< 4^4\)
\(\Rightarrow x+y< 4\)
Mà \(x+y\ge2\left(x,y\in N^{\circledast}\right)\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=2\\x+y=3\end{matrix}\right.\)
+) \(x+y=2\Rightarrow x=y=1\) ( thỏa mãn )
+) \(x+y=3\)
\(\Rightarrow x=2,y=1\) ( thỏa mãn )
\(\Rightarrow x=1,y=2\) ( không thỏa mãn )
Vậy \(x=y=1\) hoặc \(x=2,y=1\)
